Bài 2:
Nhận xét: Tương tự như bài 1, do tính đối xứng thì ta sẽ đưa về biến c. Ở bài toán này ta cũng dùng bất đẳng thức ở mẫu và áp dụng các BĐT phụ sau:
$x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}\geq 2xy$
Lời giải chi tiết:
Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
$\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}\geq \frac{a}{(b+c)^2+\frac{5}{4}(b+c)^2}=\frac{4a^2}{9(b+c)^2}$
Tương tự ta cũng có :
$\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}\geq \frac{4b^2}{9(c+a)^2}$
Suy ra:
$\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(a+c)^2+5ca}\geq \frac{4}{9}(\frac{a^2}{(b+c)^2}+\frac{b^2}{(c+a)^2})$
$\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a} \right )^2=\frac{2}{9}\left ( \frac{a^2+b^2+c(a+b)}{ab+c(a+b)+c^2} \right )^2$
$\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{\frac{(a+b)^2}{2}+c(a+b)}{\frac{(a+b)^2}{4}+c(a+b)+c^2} \right )^2=\frac{2}{9}\left ( \frac{2(a+b)^2+4c(a+b)}{(a+b)^2+4c(a+b)+4c^2} \right )^2$
Vì $a+b+c=1\Leftrightarrow a+b=1-c$ nên
$P\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{2(1-c)^2+4c(1-c)}{(1-c)^2+4c(1-c)+4c^2} \right )^2-\frac{3}{4}(1-c)^2=\frac{8}{9}\left ( 1-\frac{2}{c+1} \right )^2-\frac{3}{4}\left ( 1-c \right )^2(1)$
Xét hàm số $f(c)=\frac{8}{9}\left ( 1-\frac{2}{1+c} \right )^2-\frac{3}{4}(1-c)^2$ với $c\in (0;1)$
Ta có :
$f'(c)=\frac{16}{9}\left ( 1-\frac{2}{1+c} \right ).\frac{2}{(c+1)^2}-\frac{3}{2}(1-c)$
$f'(c)=0\Leftrightarrow (c-1)(64-(3c+3)^3)=0\Leftrightarrow c=\frac{1}{3}$
BBT:
Dự vào BBT ta có : $f(c)\geq -\frac{1}{9}$ với mọi $c\in (0;1)(2)$
từ (1) và (2) Suy ra $P\geq -\frac{1}{9}$ dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$